Riemannův integrál je v matematice určitý integrál , jehož definice je založena na geometrické interpretaci plochy pod křivkou.
Jeho základní myšlenka byla známa již starým Řekům , kteří jejím užitím dokázali počítat obsahy a objemy některých geometrických objektů (například jehlanu , kužele či koule ). Pojmenován byl po německém matematikovi Bernhardu Riemannovi . Jeho definice umožňuje jeho použití pouze u funkcí jedné nezávisle proměnné. Pokud existuje Riemannův integrál dané funkce, pak o funkci říkáme, že je Riemannovsky integrovatelná . V zobecnění pro vícerozměrné případy byl nahrazen Lebesgueovým integrálem .
Plocha pod grafem funkce.
Pokrytí plochy obdélníky pro horní součet.
Pokrytí plochy obdélníky pro dolní součet.
Definice Riemannova integrálu vychází z intuitivní představy měření obsahu plochy pod grafem funkce . Má-li se přibližně zjistit tento obsah, provede se to v praxi pokrytím téměř celé měřené plochy útvary o známém obsahu tak, aby nepřesahovaly hranici měřené plochy a vzájemně se nepřekrývaly. Po sečtení obsahů všech vložených útvarů vznikne číslo, které je zřejmě menší než obsah měřené plochy — dolní odhad . Obdobně pokrytím celé měřené plochy útvary o známém obsahu vznikne — horní odhad . Obsah měřené plochy pak leží mezi dolním a horním odhadem. Bude-li se používat k pokrývání plochy stále menších a menších útvarů, pak je možné oba odhady stále zpřesňovat, až teoreticky při pokrytí plochy nekonečně mnoha nekonečně malými útvary bude horní i dolní odhad roven stejnému číslu — obsahu plochy . Pro jednoduchost se při zavádění Riemannova integrálu používají za ony útvary, jimiž se plocha pokrývá, obdélníky se stranami rovnoběžnými s osami soustavy souřadnic .
Uvedeme dvě definice Riemannova integrálu. První definice pochází od Bernharda Riemanna . Druhá definice pochází od Gastona Darbouxe . Obě definice jsou ekvivalentní. To znamená, že funkce je integrovatelná podle Darbouxovy definice, právě když je integrovatelná podle Riemannovy definice a hodnota integrálu podle obou definic je shodná. Z Darbouxovy definice lze snadněji odvodit některé důležité vlastnosti Riemannova integrálu, proto se v literatuře vyskytuje častěji. Obě definice užívají pojem dělení
D
{\displaystyle D}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
t
0
,
.
.
.
,
t
n
{\displaystyle t_{0},...,t_{n}}
a
=
t
0
<
t
1
<
.
.
.
<
t
n
=
b
{\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<...<t_{n}=b}
funkce , která je na daném intervalu po částech spojitá , je na tomto intervalu také integrovatelná.
Dělením body intervalu
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
(
D
,
C
)
{\displaystyle (D,C)}
D
=
(
t
0
,
.
.
,
t
n
)
{\displaystyle D=(t_{0},..,t_{n})}
C
=
(
c
0
,
.
.
.
,
c
n
−
1
)
{\displaystyle C=(c_{0},...,c_{n-1})}
t
i
≤
c
i
≤
t
i
+
1
{\displaystyle t_{i}\leq c_{i}\leq t_{i+1}}
0
≤
i
≤
n
−
1
{\displaystyle 0\leq i\leq n-1}
t
0
=
a
{\displaystyle t_{0}=a}
t
n
=
b
{\displaystyle t_{n}=b}
Riemannovu sumu funkce
f
{\displaystyle f}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
(
D
,
C
)
{\displaystyle (D,C)}
R
(
f
,
D
,
C
)
=
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
c
i
)
(
t
i
+
1
−
t
i
)
{\displaystyle R(f,D,C)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})(t_{i+1}-t_{i})}
Normu dělení
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
(
D
)
=
max
0
≤
i
≤
n
−
1
(
t
i
+
1
−
t
i
)
{\displaystyle \lambda (D)=\max _{0\leq i\leq n-1}(t_{i+1}-t_{i})}
D
{\displaystyle D}
D
{\displaystyle D}
Řekneme, že funkce
f
{\displaystyle f}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
Riemannův integrál
I
∈
R
{\displaystyle I\in \mathbb {R} }
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
(
D
,
C
)
{\displaystyle (D,C)}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
λ
(
D
)
<
δ
=>
|
I
−
R
(
f
,
D
,
C
)
|
<
ε
{\displaystyle \lambda (D)<\delta \,=>\,|I-R(f,D,C)|<\varepsilon }
I
=
lim
λ
(
D
)
→
0
R
(
f
,
D
,
C
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle I=\lim _{\lambda (D)\to 0}R(f,D,C)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x}
Horní součet pro funkci
f
{\displaystyle f}
D
{\displaystyle D}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
S
(
f
,
D
)
=
∑
i
=
1
n
sup
x
∈
⟨
t
i
−
1
,
t
i
⟩
f
(
x
)
(
t
i
−
t
i
−
1
)
{\displaystyle S(f,D)=\sum _{i=1}^{n}\sup _{x\in \langle t_{i-1},t_{i}\rangle }f(x)(t_{i}-t_{i-1})}
Horní Riemannův integrál funkce
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
=
inf
D
∈
D
S
(
f
,
D
)
{\displaystyle \int \limits _{a}^{\overline {b}}f(x)\ \mathrm {d} x=\inf _{D\in {\mathcal {D}}}S(f,D)}
Dolní součet pro funkci
f
{\displaystyle f}
D
{\displaystyle D}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
s
(
f
,
D
)
=
∑
i
=
1
n
inf
x
∈
⟨
t
i
−
1
,
t
i
⟩
f
(
x
)
(
t
i
−
t
i
−
1
)
{\displaystyle s(f,D)=\sum _{i=1}^{n}\inf _{x\in \langle t_{i-1},t_{i}\rangle }f(x)(t_{i}-t_{i-1})}
Dolní Riemannův integrál funkce
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
∫
a
_
b
f
(
x
)
d
x
=
sup
D
∈
D
s
(
f
,
D
)
{\displaystyle \int \limits _{\underline {a}}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x=\sup _{D\in {\mathcal {D}}}s(f,D)}
Riemannův integrál funkce
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
¯
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
_
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x=\int \limits _{a}^{\overline {b}}f(x)\ \mathrm {d} x=\int \limits _{\underline {a}}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x}
kde symbolem
sup
{\displaystyle \sup }
inf
{\displaystyle \inf }
supremum resp. infimum a
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
D
{\displaystyle D}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
Mějme funkce
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle f(x),g(x)}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
∫
a
b
[
c
1
f
(
x
)
+
c
2
g
(
x
)
]
d
x
=
c
1
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
c
2
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}[c_{1}f(x)+c_{2}g(x)]\mathrm {d} x=c_{1}\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+c_{2}\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}
kde
c
1
,
c
2
{\displaystyle c_{1},c_{2}}
konstanty . Na daném intervalu je tedy integrovatelná také funkce
c
1
f
(
x
)
+
c
2
g
(
x
)
{\displaystyle c_{1}f(x)+c_{2}g(x)}
Integrovatelná je také funkce
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle |f(x)|}
|
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
|
≤
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}
Také funkce
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g(x)}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
≠
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm {d} x\neq \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\;\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}
Pokud je funkce
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
kladná a zdola ohraničená nebo záporná a shora ohraničená , tedy
0
>
K
≥
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle 0>K\geq |g(x)|}
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g(x)}
Zvolíme-li na intervalu
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
bod
c
{\displaystyle c}
a
<
c
<
b
{\displaystyle a<c<b}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
Vzájemná záměna mezí intervalu, na němž integrujeme, vede ke změně znaménka integrálu, tzn.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\mathrm {d} x}
Pokud pro všechna
x
∈
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }
f
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f(x)\geq 0}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\geq 0}
Pokud navíc alespoň v jednom bodě
c
∈
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle c\in \langle a,b\rangle }
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
spojitá , platí také
f
(
c
)
>
0
{\displaystyle f(c)>0}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
>
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x>0}
Je-li funkce
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
spojitá a současně platí
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm {d} x=0}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
Je-li na intervalu
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
f
(
x
)
≥
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)\geq g(x)}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\geq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}
Je-li na intervalu
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
omezená , tzn.
m
≤
f
(
x
)
≤
M
{\displaystyle m\leq f(x)\leq M}
m
,
M
{\displaystyle m,M}
g
(
x
)
≥
0
{\displaystyle g(x)\geq 0}
nerovnosti
m
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
≤
M
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm {d} x\leq M\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}
Funkce
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle f(x),g(x)}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
Schwarzovu nerovnost
(
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
)
2
≤
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
2
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\left(\int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm {d} x\right)}^{2}\leq \int _{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm {d} x\;\int _{a}^{b}g^{2}(x)\mathrm {d} x}
Můžeme definovat funkci
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
x
{\displaystyle x}
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t}
Funkce
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
derivaci , přičemž platí
d
F
d
x
=
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t=f(x)}
Podobně lze definovat funkci
G
(
x
)
=
∫
x
b
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle G(x)=\int _{x}^{b}f(t)\mathrm {d} t}
pro jejíž derivaci dostaneme
d
G
d
x
=
d
d
x
∫
x
b
f
(
t
)
d
t
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{x}^{b}f(t)\mathrm {d} t=-f(x)}
Pokud je funkce
f
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f(x)\geq 0}
x
∈
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
obsahu plochy , jejíž obvod tvoří osy
x
{\displaystyle x}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
rovnoběžky s osou
y
{\displaystyle y}
rovnice
x
=
a
,
x
=
b
{\displaystyle x=a,x=b}
Je-li např. na intervalu
⟨
a
,
c
⟩
{\displaystyle \langle a,c\rangle }
f
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f(x)\geq 0}
⟨
c
,
b
⟩
{\displaystyle \langle c,b\rangle }
f
(
x
)
≤
0
{\displaystyle f(x)\leq 0}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
+
|
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
|
{\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x+\left|\int _{c}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right|}
Je-li funkce
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
primitivní funkce , pak platí (viz Newtonův integrál )
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}
![{\displaystyle \int _{a}^{b}[c_{1}f(x)+c_{2}g(x)]\mathrm {d} x=c_{1}\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+c_{2}\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de7bd43f4daab3335955ee8e64a8f6faf5c376f)
Obrázky, zvuky či videa k tématu Riemannův integrál na Wikimedia Commons 
